如果能有一个梯度的公式，计算起来会很方便。为了更好地描述梯度场，我们需要选择一个坐标系，为了简单起见，我们将坚持使用笛卡尔坐标系。这里，我们有两个基向量;一个平行于x轴，一个平行于y轴，每个都是单位长度向量。我们要用这组基来表示梯度，
梯度的x分量就是它在向量e1上的投影，y分量就是它在e2上的投影，或者更精确地说：
根据梯度的定义，我们知道在x轴方向矢量上的投影是沿着x的方向导数，在y轴上的投影是沿着y的方向导数，在笛卡尔坐标系中，这两个方向导数是f关于x和y的偏导，
它给出了由坐标表示的结果：梯度就是由沿着每个坐标轴的偏导数组成的向量！
事实上，这个梯度的坐标表示通常被当作梯度的定义，三个变量的实函数的梯度可以表示为
